Gödels Unvollständigkeitssatz entzaubert
Wolfgang G. Gasser
2001-04-28
Das Wesentliche an Gödel's Unvollständigkeitssatz ist rein semantischer Natur, und hängt damit zusammen, dass die zweiwertige Logik in vielen Fällen faktisch nicht mit den zwei Werten wahr und falsch auskommt.
Man kann es an folgenden Beispielen erkennen:
Satz Inhalt Wahrheitswert--------------------------------
A: 3 = 2 + 1 wahr
B: 9 = 3 + 3 falsch
C: x = 9 -
D: D ist falsch -Aw: A ist wahr w
Af: A ist falsch f
Bw: B ist wahr f
Bf: B ist falsch w
Cw: C ist wahr -
Cf: C ist falsch -
Dw: D ist wahr -
Df: D ist falsch -
Aa: A ist ableitbar w
An: A nicht ableitbar f
Ba: B ist ableitbar f
Bn: B nicht ableitbar w
Ca: C ist ableitbar f
Cn: C nicht ableitbar w
Da: D ist ableitbar f
Dn: D nicht ableitbar w G: G nicht ableitbar w
(ableitbar
kann auch durch als wahr erkennbar ersetzt werden)
Beim letzten Beispiel G handelt es
sich im Wesentlichen um den berühmten Satz, der Gödels Unvollständigkeitssatz
zugrunde liegt. Der entscheidende Schritt ist der Übergang von einem
paradox-rückbezüglichen Satz wie D, dem keiner der beiden
Wahrheitswerte zugewiesen werden kann, zu Dn, der gemäss üblichem
Sprachgebrauch als wahr gilt.
Aussagen ==> Aussagen
/ \ / \ sinnvolle sinnlose ableitbar nicht ableitbar / \wahre falsche
In
einem entsprechenden auf Computer realisiertem Abfragesystem wäre der als Frage
gestellte Satz G dann nicht deshalb richtig, weil das System ihn
mit ja beantwortet, sondern weil sich das System an der Frage totläuft (und den
Satz somit "faktisch" bejaht).
Auch erwähnt Gödel, dass seine Funktion/Relation
46)
Dem(x) == (Ey) y D x
mit
der Bedeutung "x ist ableitbar" nicht rekursiv (entscheidbar) ist.
Das impliziert aber schon, dass Dem(x) gar nicht verneinbar ist.
Ein Resultat nicht(Dem(x)) ist prinzipiell unerreichbar, da
man ja in alle Ewigkeit nach einer Ableitung weitersuchen muss.
Bei aller Originalität und allem
Substanzreichtum wird die philosophische Bedeutung des Unvollständigkeitssatzes
gewaltig überschätzt. Für Überlegungen über prinzipielle Grenzen künstlicher
oder natürlicher Intelligenz ist der Satz ziemlich irrelevant.
Dass
es wahre Sätze gibt, die unbeweisbar bleiben, ist ein triviales Faktum. So ist
z.B. einer der folgenden Sätze richtig, obwohl offensichtlich keine Möglichkeit
besteht, den richtigen zu beweisen:
- Die 10100-ste Dezimalziffer von Pi ist drei
- Die 10100-ste Dezimalziffer von Pi ist nicht drei
Auch ist die Frage, ob logisch-mathematische Kalküle bzw. axiomatisch-formale
Systeme "vollständig" sind, primär nur Definitionsfrage. Gödels Satz
als gültigen (obwohl nicht ableitbaren) Satz eines solchen Systems aufzufassen,
ist willkürlich.
Zudem ist die ganze Problematik wenig bedeutsam, solange man nicht Erkenntnis
an sich (in den als Mathematik und Logik bezeichneten Bereichen) mit den axiomatisch-formalen
Systemen ala Frege, Hilbert und Russel durcheinanderbringt.
- - -
Siehe auch "Verneinung" ganz am Ende von www.pandualism.com/z/fragment.html
2001-05-01
Roland Harnau:
das heißt, dass Gödels Resultat auch für die "informale" math. Umgangssprache relevant ist, es zeigt die Grenzen des *Beweisens* schlechthin!
Das Prinzip, das Gödels Resultat ermöglicht, ist sprachlicher Natur und hat
mehr mit den Begriffen "wahr" und "falsch" als mit
Arithmetik zu tun.
Ausgehend von direkt paradox-rückbezüglichen Sätzen ("ich bin nicht
richtig") lassen sich indirekt paradox-rückbezügliche Sätze bilden
("ich bin nicht als wahr erkennbar"), die im Gegensatz zu den
ersteren als wahr bezeichnet werden können.
Gödels Argument basiert auf so einem
paradox-rückbezüglichen Satz. Somit sagt es über "Grenzen des
Beweisens" nicht mehr und nicht weniger aus, als dass sich
paradox-rückbezügliche Sätze bilden lassen, die gemäss üblichem Sprachgebrach
(oder äquivalenter formaler Schlüsse) als wahr gelten, jedoch gemäss m.E. nicht
immer überzeugenden beweistheoretischen Überlegungen für nicht ableitbar
erklärt werden.
Da die paradoxe Rückbezüglichkeit des Gödelschen Satzes G für uns
erkennbar ist, ist sie auch formalisierbar und kann somit beim Aufbau eines
IT-Expertensystem für Ableitbarkeit berücksichtigt werden.
Für so ein Expertensystem sind verschiedene Resultate für eine Frage nach A
möglich, z.B.
- Programmabsturz
- ewige Suche nach Antwort
- Meldung "A ist keine syntaktisch korrekte Aussage"
- Meldung "paradoxe Rückbezüglichkeit"
- A nicht ableitbar
- Weder A noch nicht(A) ableitbar
- nicht(A) ist ableitbar (A somit falsch)
- A ist ableitbar (A somit wahr)
Dass das Hineinpressen einer solchen Vielfalt in das
wahr-falsch-Schema problematisch ist, ist offensichtlich.
Wenn man den Unvollständigkeitssatz als "Grenzen des Beweisens
schlechthin" interpretiert, macht man sich einer unzulässigen
Verallgemeinerung schuldig, denn wir sind ja in der Lage, solche (als wahr
geltende) paradox-rückbezügliche Sätze an ihrem Aufbau zu erkennen. Und über
die Beweisbarkeit von untadeligen (d.h. nicht paradox-rückbezüglichen) Sätzen
mit echtem mathematischen Inhalt hat der Unvollständigkeitssatz ja nichts zu
sagen.
So wie ich es in meiner Satire zum Ausdruck gebracht habe,
widerlegt Gödels paradox-rückbezüglicher Satz G die
Vollständigkeit der normalen ableitbaren Aussagen nicht mehr, als eine
unvermeidbare Niederlage in einem Spiel gegen sich selbst die Unbesiegbarkeit
dieses Spielers widerlegt.
Auch halte ich die These, dass aus einem Widerspruch alles ableitbar sein soll,
für ziemlich bedenklich. (Wenn ich mich nicht irre, ist diese These schon seit
Jahrhunderten strittig.) Die These impliziert z.B., dass wir mit 7x7=50 jede
beliebige Aussage beweisen können, so z.B. "M. M. liess J. F. K.
ermorden".
Das ist deshalb möglich, weil der zum Erkenntnisgewinn völlig sinnlose Schluss
nicht(P) => ( P => K )
allgemeingültig ist, und zwar WEGEN DER UNMÖGLICHKEIT, dass sowohl P als auch nicht(P) wahr sind. Aus 7x7=50 folgt nicht(7x7=49). Somit ist auch
nicht(7x7=49) => ( 7x7=49 => M.M. liess J.F.K. ermorden )
gültig,
und wenn sowohl nicht(7x7=49) als auch 7x7=49 gegeben sind, lässt sich die Konklusion, wie jede
x-beliebige andere, ableiten.
Dieses mindestens fragwürdige Prinzip ist Prämisse für Gödels Definition von
Konsistenz, die sich somit reduziert auf: Es gibt mindestens einen
arithmetischen Satz, der nicht ableitbar ist.
Meines Erachtens sind Gödels Gedankengänge
eine Mischung aus formaler Strenge und inhaltlicher Konfusion, und das Ganze
auf höchstem Niveau.
2001-05-24
Dass eigentümliche Probleme spezieller Theorien zu "Grundlagenkrisen" der Logik und Mathematik hochstilisiert werden konnten, ist einer Begriffsverwirrung mit zu verdanken, die ich in einem etwas anderen Kontext so beschrieben habe:
"Es gibt einen bestimmten Teilbereich unserer Wahrnehmungen und Erfahrungen, den wir den Bereich der Physik nennen. Unter der Voraussetzung, dass wir in diesem Bereich Regelmässigkeiten erkennen können, die sich sprachlich oder mathematisch formulieren lassen, können wir all diese potentiell erkennbaren Regelmässigkeiten als physikalische Gesetze bezeichnen. Wir meinen damit dann das, was im Gegensatz zu den in jedem Zeitalter vorherrschenden physikalischen Vorstellungen und Theorien bleibende Gültigkeit besitzt. Andererseits wird die Wortfolge physikalische Gesetze meist nur für die z.Z. als richtig anerkannten Vorstellungen und Theorien verwendet.
Obige Aussage 2 [Telepathie kann es nicht geben, da sie den physikalischen Gesetzen widerspricht] wird somit entweder zu 2a "Telepathie kann es nicht geben, da sie unseren heutigen physikalischen Vorstellungen und Theorien widerspricht" oder zu 2b "Telepathie kann es nicht geben, da alle denkbaren physikalischen Vorstellungen und Theorien (der Gegenwart und Zukunft) Telepathie apriori ausschliessen". Während Aussage 2a wenig Überzeugungskraft besitzt, bräuchte es für das Festhalten an 2b schon eine gehörige Portion Anmassung. Nur wenn die beiden Bedeutungen der Wortfolge physikalische Gesetze gleichsetzt werden, indem man wie jedes Zeitalter die aktuellen Theorien und Vorstellungen als die endgültigen, d.h. als die Realität ansieht, kann Aussage 2 zu einer überzeugenden logischen Schlussfolgerung werden." www.pandualism.com/z/fragment.html
Dass Vollständigkeit und Widersprüchlichkeit der Logik und der Mathematik in einer Weise problematisiert wurden, dass Gödels Unvollständigkeitssatz als tiefe Erkenntnis gefeiert werden konnte, zeigt einmal mehr, dass Kants Beitrag zur Philosophie überhaupt nicht verstanden worden war.
Wolfgang G.:
Auch erwähnt Gödel, dass seine Funktion/Relation
46) Dem(x) == (Ey) y D x
mit der Bedeutung "x ist ableitbar" nicht rekursiv (entscheidbar) ist. Das impliziert aber schon, dass Dem(x) gar nicht verneinbar ist. Ein Resultat nicht(Dem(x)) ist prinzipiell unerreichbar, da man ja in alle Ewigkeit nach einer Ableitung weitersuchen muss.
Ilja Schmelzer:
Falsch. Wenn man eine Ableitung für nicht(x) hat, kann x nicht ableitbar sein (es sei denn die Theorie ist widersprüchlich). Man braucht also bloss eine Ableitung von nicht(x) zu finden und hat damit die Nichtableitbarkeit von x bewiesen.
Man nehme als Funktion/Relation x die Goldbachsche Vermutung ("Jede gerade Zahl > 2 ist die Summe zweier Primzahlen"). Ilja behauptet dann, dass diese triviale, einfach formulierbare und mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit wahre Aussage in einem (den Peano-Axiomen analogen) Axiomensystem beweisbar oder widerlegbar ist, da entweder die Ableitung Beweis(x) oder Beweis(nicht(x)) existiert.
Ilja unterstreicht also nur die zentrale Konfusion des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes, nämlich die willkürliche Gleichsetzung (oder Nicht-Gleichsetzung) von nicht(Beweis(x)) mit Beweis(nicht(x)).
Dass nicht einmal für so eine triviale Aussage wie die Goldbachsche Vermutung Beweis oder Gegenbeweis bekannt ist, spricht auch nicht gerade für Gödels Argumentation, die davon ausgeht, dass es eine relativ einfache Formel gibt, die Beweisbarkeit jeder x-beliebigen zahlentheoretischen Aussage berechnen bzw. ausdrücken kann.
Wolfgang G.:
Dass es wahre Sätze gibt, die unbeweisbar bleiben, ist ein triviales Faktum. So ist z.B. einer der folgenden Sätze richtig, obwohl offensichtlich keine Möglichkeit besteht, den richtigen zu beweisen:
- Die 10100-ste Dezimalziffer von Pi ist drei
- Die 10100-ste Dezimalziffer von Pi ist nicht drei
Adrian Suter:
Selbstverständlich besteht eine Möglichkeit, den richtigen dieser beiden Sätze zu beweisen. Dieser Beweis ist halt nur recht aufwendig. Aber er kommt mit einer endlichen Anzahl Schritten aus.
Eine Jahrmilliarde besteht aus etwa 3 x 1028 Pikosekunden (1 pikosek = 10-12 s). Unser Sonnensystem besteht aus etwa 1057 Nukleonen (d.h. Protonen und Neutronen), und unsere Galaxie aus weniger als 1070 Nukleonen.
Ich gehe davon, dass es nicht möglich ist, die 10100-ste Dezimalziffer von Pi direkt, d.h. ohne Berechnung aller vor ihr liegenden zu berechnen. Dies alleine schliesst die Möglichkeit aus, diese Dezimalziffer aktual zu berechnen.
Zudem vermute ich sehr stark, dass die 10100-ste Dezimalziffer von Pi nur bei Verfügbarkeit aller davor liegenden Stellen berechnet werden kann, was einen Speicher von 10100 Ziffern voraussetzen würde.
2002-03-03
Zusammenfassung:
Der Satz G, der das Herz des berühmten Unvollständigkeitssatzes, bildet, lautet
Satz G: Satz G ist in S nicht ableitbar
wobei S ein Axiomensystem ist. Auf Computer übertragen bedeutet das, dass sich das Programm beim Versuch, Satz G aus den Axiomen von S abzuleiten, tot läuft. Das Totlaufen impliziert aber gerade, dass Satz G nicht ableitbar ist, und somit ist Satz G gemäss üblichem Sprachgebrauch richtig.
Wenn man wie Gödel Satz G zu den richtigen (obwohl nicht ableitbaren) Aussagen des Axiomensystems S zählt, kommt man zum Schluss, dass sich nicht alle wahren Sätze aus dem Axiomensystem ableiten lassen, was als Unvollständigkeit bezeichnet wird.
Aber erst wenn man wie Hilbert so ein Axiomensystem mit der Mathematik verwechselt, wird der Unvollständigkeitssatz philosophisch bedeutsam. Dass es zu jedem axiomatischen System wahre Aussagen gibt, die ausserhalb des Systems liegen, ist sowieso klar.
Das Gegenargument, dass man zur Erreichung der Vollständigkeit Satz G zu den Axiomen hinzufügen kann, entkräftet Gödel mit dem Hinweis, dass wir dann ein neues Axiomensystem S1 (Axiome von S plus Satz G) haben, in dem sich ein neuer Satz G1 formulieren lässt, der in S1 nicht ableitbar ist:
Satz G1: Satz G1 ist in S1 nicht ableitbar
Ist es aber nicht etwas willkürlich, Satz G1 als einen von G unterschiedenen Satz zu betrachten?
Dass man die leicht schematisch erzeugbaren Sätze
Satz G2: Satz G2 ist in S2 nicht ableitbar
Satz G3: Satz G3 ist in S3 nicht ableitbar
Satz G4: Satz G4 ist in S4 nicht ableitbar
...
nicht allesamt als Axiome einführen kann, rettet hier Gödels Argumentation.